Wellenpakete und Unschärferelation
Um wirklich lokalisierte Wellenpakete zu erzeugen, braucht man Überlagerungen unendlich vieler ebener Wellen. Die Superposition endlich vieler ebener Wellen gibt immer einen quasi-periodischen Vorgang.
Durch die Überlagerung ebener Wellen mit geeigneten Amplituden kann man dann aber auch wirklich jede beliebige Wellenfunktion herstellen. Die mathematische Disziplin, die diese Fragestellungen untersucht, ist die Fourieranalyse.
Es gilt dabei folgendes Prinzip: Wenn man Wellenpakete darstellen will, die räumlich rasch veränderlich sind, braucht man zusätzlich sehr kurze Wellenlängen in der Überlagerung. Insbesondere enthalten Wellenpakete, die in einem sehr kleinen Raumgebiet lokalisiert sind, notwendigerweise auch Anteile von ebenen Wellen mit extrem kurzen Wellenlängen. Es sind also Wellen mit höchst unterschiedlichen Impulsen am Aufbau gut lokalisierter Wellenpakete beteiligt.
In jedem Wellenpaket ist die Breite der Verteilung im Raum mit der Breite der Impulsverteilung verknüpft: Je schmaler die Verteilung im Ort (dh. je besser das Wellenpaket lokalisiert ist), desto breiter wird die Verteilung der beteiligten Impulse.
Was bedeutet das für unser Teilchen?
Das Wellenpaket beschreibt, wie schon diskutiert, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens. Ein Teilchen, das sich an einem gut bekannten Ort aufhält, wird durch ein gut lokalisiertes Wellenpaket beschrieben. Zwangsläufig ist daher die Unschärfe der beteiligten Impulse groß.
Wenn hingegen der Ort des Teilchens unbestimmt, also ungenau festgelegt ist, kann das Wellenpaket breit verschmiert sein. Da es somit räumlich nur langsam variiert, sind nur ebene Wellen mit Wellenlängen aus einem kleinen Bereich nötig, um das Wellenpaket aufzubauen. Es kommen also nur Beiträge mit Impulsen aus einem engen Bereich vor.
Das ist die Heisenbergsche Unschärferelation:
genau bestimmter Ort - unscharfer Impuls,
unscharfer Ort - genau festgelegter Impuls.
Diese Beziehung heißt auch Unbestimmtheitsrelation. Es handelt sich ja nicht nur um unsere Unfähigkeit, den genauen Ort und den genauen Impuls gleichzeitig zu messen. Bei genauem Ort ist der Impuls des Teilchens ja überhaupt gar nicht festgelegt. Es müssen ja viele verschiedene Impulse (dh. ebene Wellen mit bestimmter Wellenlänge) herangezogen werden, um ein Wellenpaket mit gut definiertem Ort aufzubauen. Ein genauer Impuls ist somit prinzipiell unbestimmt.
Anders herum gilt das auch. Wenn der Impuls gut bekannt ist, ist der Ort unbestimmt. Im Extremfall des exakt bekannten Impulses, ist die Wellenfunktione die ebene Welle. Der Ort ist dann völlig unbestimmt, denn die Intensität der ebenen Welle ist überall gleich groß. |
